생일 문제 (Birthday problem)

사람이 생각하는 (인간의 직관)과 다른 결과를 도출하는 경우 (역설적인 상황)

 

임의의 N명이 모였을 때, 이 중 두명이 생일이 같을 확률은? 이란 상황을 생각해 볼 때 

 

1년은 365일, 윤년(leap year)인 경우 2월 29일 포함하여 366일에 해당한다.

 

그렇다면 직관적으로 드는 느낌은 거의 없을 것이라고 기대된다. 

 

하지만...

위키백과에 "생일문제"를 검색하면 다음과 같은 그림을 볼 수 있음

 

위 그림은 인간의 직관과 달리 23명 이상 모이면 이 중 두 명이 생일이 같은 확률이 1/2 (50% 이상)임을 보여준다.

 

N=23 , 두 명이 생일이 같을 확률: 0.51

N=50 , 두 명이 생일이 같을 확률: 0.97

n=100, 두 명이 생일이 같을 확률: 0.9999997로 거의 1에 가까움 

 

N명의 생일이 모두 다를 확률을 여집합(complement set)으로 표기하자. 

 

$$ P^c $$ 

$$ P=1- P^c $$

 

위 내용을 R 로 직접 작성해서 확인해 보자. 

#우선 4명이라고 가정하자.
p1=365/365
p2=364/365
p3=363/365
p4=362/365

#n=1
1-p1

#n=2
1-p1*p2

#n=4
1-p1*p2*p3*p4

#그럼 이를 일반화 해보자
p=NULL
bp_func<-function(n){
  for(i in 1:n){
    #N명의 생일이 모두 다를 확률
    p[i]=(365-i+1)/365
  }
  p
}

#N=23일 때, p1*p2*...*p23은 다음과 같음
bp_func(23)
prod(bp_func(23)) #0.4927028

1-prod(bp_func(23))
1-prod(bp_func(50))
1-prod(bp_func(100))

#N=1 부터 N=100까지 반복문을 이용하여 작성
Prob=NULL
for(i in 1:100){
  Prob[i]<-(1-prod(bp_func(i)))
  print(i)
}

df<-data.frame(N=1:100,Prob)
library(ggplot2)
ggplot(df,aes(N,Prob))+geom_point(size=3)+geom_line(size=1.1)+
  geom_vline(xintercept = 23,col="red")+
  geom_hline(yintercept = 0.5072972,col="red")+
  theme_bw(base_size=20)